As estradas romanas foram as avós das atuais rodovias.
O coliseu o irmão mais velho do estádio de futebol.
Canalização e distribuição de água (lembra dos aquedutos).
Saneamento básico (redes de esgoto e inclusive o bom e velho banheiro).
O Direito (como disseram em uma resposta anterior, uma idéia de constituição, um sistema de leis falando de forma simplória)
Organização militar (um exército com profissionais treinados - e não formado por um grupo de pessoas que resolveu pegar em armas pra lutar e ganhar um dinheiro extra ou parte do saque).
Na época dos romanos existia algo que podemos chamar de condominios fechados, já que os mais ricos tinham zonas restritas nas cidades romanas onde só eles podiam morar.
A arquitetura e a engenharia atuais herdaram muitos conhecimentos adquiridos pelos romanos. Sabe aqueles arcos - aqueles mesmos dos aquedutos, portas, etc? que servem para distribuir melhor o peso e gastar menos material? Esses mesmos.
As religiões cristãs atuais não vieram de Roma. Entre Roma e nós existiu algo chamado Idade Média e Idade Moderna. As religiões cristãs de hoje são resultado da Reforma Protestante e da Contra Reforma Católica que teve início lá pelo século XVI. E mesmo de lá pra cá já mudou muito. O que se poderia relacionar da religião em Roma aos nossos dias, é o tipo de poder politico que ela começou a adquirir na época dos romanos, e até hoje, em muitos paises continua tendo - apesar de em outras culturas a religião e o poder político estarem de mãos dadas mesmo antes dos romanos.
O alfabeto que usamos não é romano, pois o alfabeto romano é descendente do alfabeto fenício. O idioma que falamos sim, este é filho do latim falado pelos romanos.
A democracia e a filosofia também não são herança romana, e sim grega.
E sabe que isto do Papai Noel até pode-se dizer que não está de todo errado, já que São Nicolau (o santo que deu origem ao personagem do Papai Noel) viveu na época dos romanos, lá pelos séculos III e IV, apesar de que o Papai Noel que conhecemos hoje só surgiu no século XIX.
Muitas das contribuições romanas que chegaram aos nossos dias, nem sequer eram de fato romanas. Não se esqueça que eles conquistaram praticamente toda a Europa Ocidental, parte da Europa Central e Oriental, uma faixa no norte da África e um pedacinho do Oriente Médio. E estes povos conquistados também ensinaram algo aos romanos.